Bernoullis differentialligning
Du skal være logget ind for at se denne fil..
Ansvarlig:
Olav Lyndrup
Nykøbing Katedralskole
olav.lyndrup@skolekom.dk
Fag kombination
Matematik
Biologi
Elevens uddannelsestid i klokketimer
Produceret
23. jun 2008
Medforfattere
Forfatter er Bjørn Grøn, Vordingborg Gymnasium.
Synopsis
Den logistiske differentialligning er et eksempel på en ikke-lineær differentialligning. Den logistiske differentialligning kan generaliseres på flere måder,
og i dette forløb skal vi studere en af disse generaliseringer, de såkaldte Bernoulli-differentialligninger.
De lineære differentialligninger er karakteriseret ved, at den ukendte y ikke indgår med potenser eller som en del af sammensatte funktioner.
Lineære differentialligninger (af første, anden eller højere orden) er de mest håndterlige. Her kan vi ofte bestemme løsninger eksakt og skabe os et overblik over den fuldstændige løsning
(dvs. mængden af alle løsninger til den forelagte differentiallig-ning).
Eksempler på sådanne differentialligninger er typerne y' = ky, y' = b – ay, y'' + by' + cy = 0 og y'' + f(x)y' + g(x)y = h(x).
Definitionsmængderne indskrænkes kun, hvis der er problemer med definitionsmængderne for nogle af de funktioner, der indgår i ligningen.
Anderledes er det med ikke-lineære differentialligninger. For den logistiske differentialligning så vi, at visse løsninger fik indskrænket definitionsmængden dramatisk.
Mange ikke-lineære diffe-rentialligninger kan ikke løses eksakt. I stedet kan man vælge at foretage en numerisk løsning, eller man kan af og til tilnærme med lineære differentialligninger.
Endelig kan man også få en del oplysninger ved at analysere differentialligningen uden direkte at løse den – som f.eks. oplysninger om løsningers monotoniforhold.
En del familier af ikke-lineære differentialligninger kan dog løses eksakt. Den logistiske er således med i en større familie, vi samlet kalder Bernoullis differentialligning.
De har fået navn efter Jacob Bernoulli, der levede samtidig med Newton og Leibniz.
Bernoullis differentialligning er interessant af flere grunde. Den træder ind på scenen i så forskellige situationer som opstilling af modeller for et frit fald med luftmodstand
inden for fysikken og opstilling af matematiske fiskerimodeller inden for biologi.
